- Vector unitario
En esta clase podrás encontrar la definición de vector unitario, además de diferentes ejemplos de vectores unitarios y por último se desarrolla la normalización de un vector, la cual consiste en crear un nuevo vector unitario que presente la misma dirección y sentido que el vector inicial dado.
- Gradiente
En esta clase podrás encontrar la definición de un gradiente, además de como poder calcularlo mediante sus derivadas parciales, el cual se define de la siguiente manera: $$\nabla f(x,y)= \left(\frac{\partial f {\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$ Por último podrás ver un ejemplo que te permitirá poder afianzar este concepto.
- Gradiente de una función de n- variables
En esta clase podrás encontrar como calcular un gradiente de una función de n- variables, el cual se define de la siguiente manera: $$\nabla f(x,y,w,\cdot,z)= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial w}, \cdot, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$$ Por último, podrás ver un ejemplo de determinar un gradiente de una función de tres variables, lo cual te permitirá poder afianzar este concepto.
- Propiedades del gradiente
En esta clase podrás encontrar las propiedades más importantes del gradiente, lo cual es una herramienta que nos va a permitir más adelante poder simplificar muchos los cálculos, estas propiedades son:
Regla de la suma $\nabla (f+g)= \nabla f + \nabla g$
Regla de la diferencia $\nabla (f-g)= \nabla f - \nabla g$
Regla del múltiplo constante $\nabla (kf)= k \nabla f $ para todo $k \in \mathbb{R}$
Regla del producto $\nabla (fg)=f \nabla g + g \nabla f$
Regla del cociente $\nabla\left(\frac{f}{g}\right)= \frac{g \nabla f- f \nabla g}{g^2}$
- Derivada direccional (definición límite y fórmulas)
En esta clase podrás encontrar el concepto o la definición de derivada direccional, además de su manera para determinarla mediante el límite a partir de la siguiente fórmula $$D_{\vec{u}}f(x,y)=\lim_{t \to 0}\frac{f(x+t \cos \theta , y+t \sin \theta)-f(x,y)}{t}$$
Y mediante fórmulas de la siguiente manera
Por medio de derivadas direccionales $$D_{\vec{u}}f(x,y)=f_{x}(x,y)u_1+ f_{y}(x,y)u_2$$
Por medio del gradiente $$D_{\vec{u}}f(x,y)=\nabla f (x,y) \vec{u}$$
- Ejemplo derivada direccional utilizando derivadas parciales
En esta clase podrás encontrar un ejemplo para determinar la derivada direccional utilizando las derivadas parciales, el ejemplo que se va a desarrollar es encontrar las derivadas parciales de la función $f(x,y)=x^2y^3$ en el punto $P(2,-1)$ y en dirección con el vector $\vec{a}=4i-3j$
- Ejemplo derivada direccional utilizando el gradiente
En esta clase podrás encontrar un ejemplo para determinar la derivada direccional utilizando el gradiente, el ejemplo que se va a desarrollar es encontrar las derivadas parciales de la función $f(x,y)=2x^3-2xy$ en el punto $P(2,1)$ y en dirección al vector formado por los puntos $P(2,1)$ y $Q(4,10)$
- Ejemplo de derivada direccional dado un ángulo $\theta$
En esta clase encontraras la derivada direccional de una función cuando su dirección se encuentra dada mediante un ángulo $theta$, el ejercicio nos pide encontrar la derivada direccional de $f$ en el punto $O$, en la dirección que indica el ángulo. Esto si $f(x,y)= x e^{-9y}$ en dirección al ángulo $\theta= \frac{\pi}{2}$, en el punto $P(-2,0)$.
- Derivada direccional en varios puntos
En esta clase encontraras la derivada direccional de una función en varias direcciones de los vectores que se establecen, el ejercicio nos plantea que si $f$ es una función de dos variables con derivadas parciales continuas. Considerando los puntos $A(2,1)$, $B(6,1)$, $C(2,6)$ y $D(7,13)$. La derivada direccional en $A$ en la dirección del vector $\vec{AB}$ es $10$ y la derivada direccional en $A$ en la dirección del vector $\vec{AC}$ es $6$. Entonces se debe calcular la derivada direccional de $f$ en $A$ en al dirección del vector $\vec{AD}$.
- Ejercicio de aplicación de derivadas direccionales
En esta clase encontraras un ejercicio de aplicación él cual se determina hallando las derivadas direccionales de la función dada, el ejercicio nos plantea que la temperatura en el punto $(x,y,z)$ de un sistema coordenado rectangular, localizado en el espacio, esta dado por $$T=\frac{100}{x^2+y^2+x^2}$$ Se debe calcular la razón de cambio de $T$ en el punto $P(1,3,-2)$ en dirección del vector $\vec{a}=i+j+k$.
